Durante a faculdade de Física, a gente se depara com tantos nomes de cientistas em fórmulas, leis e calibres que é normal acabar misturando alguns deles na memória.[1] No meio de tantos nomes parecidos, existe uma confusão clássica que quase todo estudante comete: confundir o físico dinamarquês Ludvig Lorenz com o físico holandês Hendrik Lorentz.[1, 6]
A diferença na escrita é apenas uma única letra "T", mas esse pequeno detalhe esconde uma história fascinante sobre como a eletrodinâmica clássica e as teorias de calibre se desenvolveram.[1, 3] Vamos entender essa bagunça histórica e ver como ela foi corrigida!
O Erro nos Livros Clássicos (E como o Jackson se corrigiu)
A confusão de atribuir a condição de calibre $\partial_\mu A^\mu = 0$ ao famoso Hendrik Lorentz é um dos erros mais comuns e persistentes na literatura acadêmica.[1, 7] Esse equívoco chegou a aparecer no livro considerado a "bíblia" da eletrodinâmica clássica: o famoso Classical Electrodynamics, de John David Jackson.[8]
Nas primeiras tiragens da terceira edição do livro, lançada no final dos anos 1990, Jackson usava sistematicamente o termo "calibre de Lorentz" (com "T").[8, 5] Para piorar, em uma nota de rodapé sobre óptica, ele chamava a equação que relaciona o índice de refração de um meio com a sua densidade de "equação de Lorentz-Lorenz (1880)".[5]
Mas Jackson resolveu investigar o passado a fundo.[5] Em 2001, ele publicou um artigo histórico em parceria com o físico Lev Okun na prestigiada revista Reviews of Modern Physics, intitulado Historical roots of gauge invariance.[1] Nesse trabalho, eles provaram que Ludvig V. Lorenz tinha proposto o calibre $\partial_\mu A^\mu = 0$ e os potenciais retardados em 1867, muito antes de Hendrik Lorentz surgir com suas contribuições nessa área.[1, 3]
Após essa descoberta, Jackson corrigiu seu livro![5] A partir da oitava impressão da terceira edição, publicada em janeiro de 2002, o termo foi alterado para "calibre de Lorenz" e a nota de rodapé foi reescrita como "equação de Lorenz-Lorentz (1869, 1880)", restabelecendo o crédito e a ordem cronológica correta.[5] Em maio de 2002, para consolidar a correção na comunidade de ensino, Jackson publicou no American Journal of Physics o artigo From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations, explicando as transformações de calibre de maneira explícita e adotando definitivamente o nome de Lorenz.[2]
A Física por trás do Calibre de Lorenz
Na eletrodinâmica, os potenciais elétrico e magnético nos ajudam a resolver as equações de Maxwell, mas eles possuem uma certa redundância matemática. Como não existem monopolos magnéticos ($\nabla\cdot\mathbf{B} = 0$), podemos escrever o campo magnético como o rotacional de um potencial vetor:[9]
$$\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}$$
Substituindo isso na lei de Faraday, descobrimos que o campo elétrico pode ser escrito em termos do potencial escalar $\phi$ e do potencial vetor $\mathbf{A}$:[9]
$$\mathbf{E} = -\nabla\phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}$$
Os potenciais $\phi$ e $\mathbf{A}$ não são únicos. Podemos transformá-los usando uma função escalar arbitrária $\chi(\mathbf{r},t)$ sem alterar em nada os campos físicos $\mathbf{E}$ e $\mathbf{B}$:[9]
$$\mathbf{A}' = \mathbf{A} + \nabla\chi$$
$$\phi' = \phi - \frac{\partial\chi}{\partial t}$$
Para simplificar as equações diferenciais dos potenciais, impomos uma condição matemática.[2] A escolha do calibre de Lorenz consiste em exigir que:[2, 9]
$$\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t} = 0$$
A grande vantagem dessa escolha é que ela desacopla as equações para os potenciais, transformando-as em equações de onda independentes:[2, 9]
$$\square\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
$$\square\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}$$
Onde o d'Alembertiano é dado por $\square = \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$.[9] Isso nos mostra que, sob esse calibre, os potenciais se propagam de forma causal à velocidade da luz.[2, 3]
E como provamos que sempre é possível encontrar uma função $\chi$ que nos leve a esse calibre?[2] Queremos que os novos potenciais satisfaçam a condição:[2]
$$\nabla\cdot\mathbf{A}' + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi'}{\partial t} = 0$$
Substituindo as equações de transformação, temos:
$$\nabla\cdot(\mathbf{A}+\nabla\chi) + \frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(\phi - \frac{\partial\chi}{\partial t}\right) = 0$$
$$\left(\nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}\right) + \left(\nabla^2\chi - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\chi}{\partial t^2}\right) = 0$$
Se chamarmos o termo original entre parênteses de uma função conhecida $f(\mathbf{r},t) = \nabla\cdot\mathbf{A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}$[2], a equação para a função $\chi$ fica simples:[2]
$$\square\chi = -f(\mathbf{r},t)$$
Como essa é uma equação de onda não homogênea clássica, ela sempre possui uma solução física bem-comportada (calculada via funções de Green retardadas).[2, 9] Isso prova matematicamente que a escolha de Lorenz sempre é possível de se realizar.[2]
Por que a Confusão Persiste? (O segredo da relatividade)
Há um motivo físico muito forte que induz os estudantes e cientistas a colocarem o "T" no calibre de Lorenz: o calibre de Lorenz é Lorentz-invariante!
Na linguagem relativística quadridimensional, se definirmos o quadrivetor potencial como $A^\mu = (\phi/c,\mathbf{A})$ e o quadricomponente gradiente como $\partial_\mu = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla\right)$[9], a condição de Lorenz assume uma forma extremamente concisa:[1, 9]
$$\partial_\mu A^\mu = 0$$
Por ser um produto escalar quadridimensional, esse valor é exatamente o mesmo em qualquer referencial inercial.[1] Ou seja, se o calibre vale zero em um referencial, vale zero em todos.[1] Como essa simetria do espaço-tempo (invariância de Lorentz) foi batizada em homenagem a Hendrik Lorentz, nossa mente faz uma associação direta e acaba escrevendo "calibre de Lorentz" de forma equivocada.[1, 7]
Quem foi quem? Comparação Rápida
| Atributo | Ludvig Valentin Lorenz | Hendrik Antoon Lorentz |
|---|---|---|
| Nacionalidade | Dinamarquês (1829 - 1891)[7, 6] | Holandês (1853 - 1928)[4] |
| Principais contribuições | Potenciais retardados (1867); calibre de Lorenz (1867); espalhamento de luz por esferas (Teoria de Lorenz-Mie, 1890); condutividade de metais (Lei de Wiedemann-Franz-Lorenz).[3, 7, 10, 6] | Força de Lorentz; Transformações de Lorentz; Teoria clássica dos elétrons; explicação do Efeito Zeeman (Prêmio Nobel em 1902).[4, 11] |
| Visão sobre o Éter | Rejeitava o éter. Considerava o éter um conceito desnecessário e defendia que o vácuo tinha propriedades condutoras para propagar a luz.[7, 6] | Defendia o éter estacionário como o referencial absoluto no qual a luz se propagava.[4] |
| Equação de Refração e Densidade | Propôs a relação (n² - 1)/(n² + 2) = const × d em 1869, partindo de dados experimentais e de sua teoria óptica fenomenológica.[12, 6] | Deduziu a mesma relação em 1878 de forma independente, partindo do eletromagnetismo microscópico de Helmholtz.[4, 13] |
Conclusão
O rigor na Física não serve apenas para resolver equações matemáticas difíceis; ele também serve para dar o devido crédito a quem construiu as bases da ciência.[1]
Agora que você conhece a história por trás desse "T" intruso, lembre-se: o calibre (que dita a propagação causal das ondas) é de Lorenz[2, 3], enquanto as transformações do espaço-tempo e a força eletromagnética pertencem a Lorentz.[4]
Referências Bibliográficas
- [1] JACKSON, J. D. & OKUN, L. B. Historical roots of gauge invariance. Reviews of Modern Physics, v. 73, n. 3, p. 663-680, 2001.
- [2] JACKSON, J. D. From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations. American Journal of Physics, v. 70, n. 9, p. 917-928, 2002.
- [3] LORENZ, L. V. On the identity of the vibrations of light with electrical currents. Philosophical Magazine, Series 4, v. 34, n. 230, p. 287-301, 1867.
- [4] LORENTZ, H. A. The Theory of Electrons and its Applications to the Phenomena of Light and Radiant Heat. Leipzig: B. G. Teubner, 1909.
- [5] ERRATA for Classical Electrodynamics, 3rd Edition (8th printing, Jan 2002). Nova York: John Wiley & Sons, 2002.
- [6] KRAGH, H. Ludvig Lorenz: Denmark's First Theoretical Physicist. Copenhague: Adonis, 1991.
- [7] KRAGH, H. Ludvig Lorenz and His Non-Maxwellian Electrical Theory of Light. Physics in Perspective, v. 20, n. 2, p. 155-175, 2018.
- [8] JACKSON, J. D. Classical Electrodynamics. 3. ed. Nova York: John Wiley & Sons, 1999.
- [9] GRIFFITHS, D. J. Introduction to Electrodynamics. 4. ed. Boston: Pearson, 2015.
- [10] KRAGH, H. & FRISVAD, J. R. Lysbevægelsen i og uden for en af plane Lysbølger belyst Kugle: Introduction to Ludvig Lorenz's 1890 Memoir. Copenhague, 2019.
- [11] SOLARI, H. G. & NATIELLO, M. A. Reconstructing Quantum Mechanics in Harmony with Classical Electrodynamics. arXiv:2412.06789, 2024.
- [12] LORENZ, L. V. Experimentale og theoretiske Undersøgelser over Legemernes Brydningsforhold. Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter, 1869.
- [13] LORENTZ, H. A. Über die Beziehung zwischen der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes und der Körperdichte. Annalen der Physik, v. 245, n. 4, p. 641-665, 1880.
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